Chuyên đề 39




BẤT ĐẲNG THỨC
(Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức)
I. DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA
Kiến thức:

a)
a + b nếu a + b
0
- ( a + b ) nếu a + b < 0
b) A > B
A – B > 0

Ví dụ :
Chứng minh rằng : với mọi x , a ta luôn có : 6ax – 10a
< x2 + 7
Giải
Xét x2 + 7 - 6ax + 10a
= x2 – 2. x.3a + 9a2 + a2 +7
= ( x – 3a )2 + a2 +7 > 0
6ax – 10a
< x2 + 7
Bài tập :
Chứng minh rằng với mọi x :
4
Giải:
Xét
- 4 =
0
Vậy
4
Chứng minh rằng : ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )
-1
Giải
Xét hiệu :( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 ) –(-1)
=(x2 – 5x+4)(x2 – 5x+6)+1
Đặt y= x2 – 5x + 5, biểu thức trên bằng : (y – 1)(y+1)+1=y2
0
Vậy : ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )
-1
Chứng minh rằng : ( x – 1 )( x – 3 )( x - 4 )( x – 6 ) + 9
0
Giải
Ta có: ( x – 1 )( x – 3 )( x - 4 )( x – 6 ) + 9
=(x2 – 7x + 6)(x2 – 7x+12)+9
Đặt a=x2 – 7x+9, biểu thức trên trở thành: (a – 3)(a+3)+9=a2
0
Chứng minh rằng : a2 + 4b2 + 4c2
4ab – 4ac + 8bc
Giải
Ta có: a2 + 4b2 + 4c2 –( 4ab – 4ac + 8bc)
=(a – 2b)2 +4c2 + 4c(a - 2b)
=(a – 2b + 2c)2
0
Cho 3 số dương a , b , c thỏa a2 + b2 + c2 =
. Chứng minh rằng :
<

Giải
Ta có: (a+b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc
0
=>2bc+2ac - 2ab
a2 + b2 + c2
Mà: a2 + b2 + c2=
<2
=>2bc + 2ac – 2bc <2
=>

=>

Chứng minh rằng với mọi x,y : 2( x2+y2 )
( x + y )2
Giải
2( x2+y2 ) - ( x + y )2=(x – y)2
0
=>2( x2+y2 )
( x + y )2
Chứng minh rằng : Với mọi a, b :
(
)2


a2 + b2 + c2 + 3
2( a + b + c )


2 ( với ab >0 )
Giải
(Hướng dẫn)
VP – VT =

VT – VP = (a -1)2 + (b-1)2 + (c-1)2
0
VT – VP =

0 vì a,b>0
Cho 2 số a,b cùng dấu. Chứng minh rằng: nếu a

Giải
Xét
-
=

Vì: ab – a>0
a, b cùng dấu =>a.b>0
Do đó:
>0 hay
-
>0
Vậy:
>


Chứng minh rằng :
, với mọi a, b
Chứng minh rằng :
, với mọi a , b
Giải
a) Ta có:





Tương tự:


(1)
Ta lại có:




(2)
Từ (1) và (2)


b) Tương tự câu a):





Chứng minh rằng: Với mọi số a, b không âm: (
)2
ab. Dấu ‘ = ’ xảy ra khi và chỉ khi a = b
Giải:
Xét (
)2 - ab =

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a – b = 0 hay a = b
Vậy (
)2
ab

II. DÙNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI